维纳滤波是最优的线性滤波器 矩阵&向量的求导方法
总结:
维纳滤波是最优的线性滤波器:滤波器就是x->h->y,h就是滤波器。这个最优的线性滤波器是维纳滤波。因为从正交性的角度出发(参见3.1节)可以推导出维纳滤波器。残差与原材料正交!维纳滤波还是一种线性估计。让x(t)经过一个线性系统h(t)后,得到x(t)*h(t)=x"(t)卷积,用这个x"(t)去线性逼近Y(t),此处就还是一个线性估计。因为还是最小均方误差估计,在MSE的估计下的最优估计MVUE是条件期望,也就是最佳线性投影。维纳滤波的Metric是最小均方误差卷积是线性的,最小均方误差意义下的逼近仍然是线性逼近。(最小均方误差下的最优估计是条件期望E(Y|X),这个就是投影(正交化),minE(Y-αX)^2,得到如下式子,这就是投影(正交化)。将Y向X上投影,其结果就是最优估计。终于证明了维纳滤波的公式了,由于期望的存在,真的是功率谱。在频域是乘积,在空域就是卷积了。对(FH)",对矩阵求偏导得到的结果是H*,且是乘积。所以再换算到空域,就是卷积共轭 *h(-x,-y)。由于第二个是假设了服从高斯分布,所以Sn/Sf就简化为了 了
0. 线性估计
(资料图片仅供参考)
补充:常用的矩阵向量求导公式,参考 矩阵&向量的求导方法推导及常用公式总结和证明(一) - 知乎
1. 《数字图像处理》冈萨雷斯
证明方式:参考:维纳滤波推导
解释为什么在空域是(f*h)"=*h(-x,-y),为什么是卷积上共轭
因为在频域中,是对,对矩阵求偏导得到的结果是,且是乘积。所以再换算到空域,就是卷积共轭
2. 贝叶斯角度的推导维纳滤波公式
中间计算过程为:
则继续求导为:(g-f*h)*h"/σn^2 + f/σf^2=0
然后在频域求解,即可得到(3.10)式。
2.1 关键步骤:对f*h求偏导,怎么进行的?
竟然是(g-f*h)*h"。这一步的数学说明未尽考察,从paper上就是这样来的。待进一步考证
3. 从正交性和线性估计的角度来推导维纳滤波
维纳滤波原理(Wiener Filter)
解释了2.1的疑问,卷积的微分是怎么求得的?
其中花体R是傅里叶变换。因为对Wiener-Hoef方程(卷积形式)进行傅里叶变换,可以得到乘积。Sx H = Sxs, S为功率谱密度,H为傅里叶变换。对相关的傅里叶变换是功率谱密度。
3.1 从正交性的角度来解释
这里推导出的公式跟逆滤波类似,还没有加入f的先验的部分。
先对x(t)进行正交化,得到U(t),让U(t)经过线性系统h2得到U^,然后去U^的一半(正的部分)去近似逼近Y(t)。
为什么可以去一半(正的部分)呢? 因为U是正交的,因果系统只有正的部分才是有意义的假定U不仅是正交的,还是单位化的。x(t)*h1(t)=U(t),卷积的结果是Wiener-Hoef方程,
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