视讯!单变量积分的知识可参考 二重积分的意义
二重积分是二元函数在空间上的积分,同定积分类似,是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用,可以用来计算曲面的面积,平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的(有向)曲面上进行积分,称为曲面积分。
本篇涉及到的单变量积分的知识可参考《数学笔记13——定积分》
二重积分的意义
(资料图)
一元积分的被积函数是二维空间的曲线,其几何意义是计算曲线与x轴围成的面积;二重积分的被积函数是空间中的一个曲面,其几何意义是计算该曲面在xy平面的投影与该曲面围成的曲项柱体的体积。
一元函数y = f(x), :
二元函数z= f(x,y)的积分:
f(x,y)在xy平面的投影的区域是R,其二重积分称之为区域R上f(x,y)dA的二重积分,表示为:
dA表示R上的一小块面积。
用黎曼和计算体积
一元积分采用黎曼和分块,二重积分也是类似的思路,如下图所示:
R区域分成了多个小块,每块的面积是ΔA。设第i块的面积是ΔAi,ΔAi中心点在xy平面对应的值是(xi, yi),那么第i小块的高是f(xi, yi),面积是f(xi, yi)ΔAi:
这个式子对应三维空间中函数图像下方R区域内所有小柱体的体积之和。如果取积分,就是对所有小块面积ΔA取极限,使其趋近于0,就得到了二重积分:
计算二重积分
计算方法的来源
在计算二重积分时,需要将一个二重积分的计算简化为两个单变量积分的计算,因此对于二重积分,所有在一元积分中的计算方法都适用。
如上图所示,平面T与xz平面垂直且与y轴平行,S(x0)是绿色阴影部分的面积。如果将T沿x轴垂直方向前后移动(但不能超过R区域),将会得到不同的面积S(x),将这些S(x)相加(做积分),就会得到柱体的体积:
积分上下限就是平面T与R区域的切点。
现在的问题是如何计算S(x)?还是利用黎曼和的思想,将面积切割成小块,如下图所示:
小矩形的宽度是Δy,高度是f(x,y),对于给定的x来说,S(x) 实际上是关于变量y的积分:
积分域表示对于给定的切面S(x),x是定值,y是随着x变化的。
现在把两个积分式合并在一起,就得到了二重积分:
通常将最后一步的括号省略:
实际上二重积分就是累次积分,它做了两次积分,先固定x,对y积分(计算切面面积S(x));再固定y,对x积分(计算R区域的体积)。
在这里dA最终变成了dydx,这是因为将R区域的面积分成了无数个小矩形,矩形的长和宽就是dy和dx,小矩形面积dA = dydx,由此看来先对x积分和先对y积分是一样的。
计算的一般过程
计算二重积分的一般过程就是分步积分,下面是一个示例。
计算z = 1 – x2 – y2在0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1上的积分。
重积分表达式是:
第一步是计算内积分,将x看作固定值,对y做积分:
经过第一步后,y将从结果中消失。接下来计算外积分:
这就是最终答案了。
积分的边界
现在修改一下函数的定义域,如果约束 x2 + y2 ≤ 1且x ≥ 0,y ≥ 0,那么z的二重积分是什么?
如下图所示,R区域实际上是1/4圆:
现在以y为内积分,x为外积分,判断积分域。容易知道x的取值范围是 0 ≤ x ≤ 1,而y是受x约束的:
在虚线上,x是定值,y的边界是y = 0和x2 + y2 = 1,用x表示y就得到了内积分的边界值:
外积分使用三角替换(积分的三角替换可参考《数学笔记20——三角替换1(sin和cos)》),令x = sinθ,0 ≤ θ ≤ π/2,dx = cosθdθ:
最终答案是π/8
改变内外积分的顺序
由于先对x积分和先对y积分是一样,所以在某些情况下可以通过改变内外积分的顺序来使计算更加简单。需要注意的是,交换后内外积分的积分域也要随之改变:
示例
如果先计算内部积分,会发现很难,你会在第一步就卡住,无法继续计算,在这种情况下可以尝试改变内外积分的顺序。
改变顺序的时候要同时改变积分域,从原积分域中0 < x < 1, x < y < x1/2可以看出,0 < y < 1,所以:
现在的问题是x如何受到y的影响?如下图所示,结合积分域,R区域就是y = x和y = x1/2这两条曲线所围成的部分:
在图中容易看出x的两个边界,右边界(x上限)是y = x,左边界(x下限)是y = x1/2。如果改写成x关于y的表达式,则右边界x = y,左边界x = y2,所以:
现在可以计算内部积分:
外部积分:
综合示例
示例1
如果R区域是(0,0), (0,2) , (-1,2)三点围成的三角形,求∫∫Rdxdy和∫∫Rdydx的积分域。
直角三角形就是R区域。
示例2
如果R区域是圆心在原点,半径为2的圆,直线y=x的下方,x轴的上方共同围成的,求∫∫Rdxdy和∫∫Rdydx的积分域。
以y为外积分,dy的上下边界是0,21/2;需要思考的是内积分的上下边界。
如上图所示,在虚线上,y值固定,虚线上的左边界是y = x,右边界是圆x2 + y2 = 4,所以在虚线上,y < x < (4 - y2)1/2,这就是内积分的边界。
以x为外积分看起来似乎没那么容易,此时R区域需要分成两个部分,每个部分的内积分边界值是不同的:
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