什么是实数？数轴上的点与实数是什么意思？

来源：CSDN 时间：2023-02-13 13:32:45

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数是比时间,空间还基本的属性,万事万物皆有数! 自然数就是1,2,3,4,5... 常言到,数轴上的点与实数一一对应.数轴是连续的, 实数集合也是连续的. 那么,实数的连续性到底是什么意思呢? 1.戴德金分割创建实数集合把有理数分成甲、乙两部分，使乙中每个数比甲中每个数大，这种分法叫做有理数的一个戴德金分割，简称分割。有理数的每个分割确定一个实数。有缝隙的分割确定一个无理数，没有缝隙的分割确定一个有理数。这样建立实数系的方法是德国数学家戴德金(J.W.R. Dedekind，1831～1916)提出来的。可见,无理数把有理数之间的缝隙全部填充了起来. 2.连续的性质我们把全体实数分成甲、乙两个非空集合，如果甲集合里任一个数a比乙集合里的任一个数b都小，或者甲集合里有最大数，或者乙集里有最小数，两种情况必居其一，有且只有一种，这就叫做实数的连续性。通俗的解释就是:用一把刀去砍一个数轴,必然砍到一个实数,这个实数或者属于甲,或者属于乙,二者必具其一. 数轴上的点与实数一一对应.这个知识点可以当成实数的定义,是公理或定义. 因为线段是连续的,所以我们也说实数是连续的.戴德金用无理数填充了所有有理数的缝隙. 连续的一个性质. 如果用4条连续的线段围成一个方形,中间灌满水,水是跑不出来的, 因为线段没有缝隙. 实数一个接一个连在一起,没有缝隙. 3.万物皆是数,线段并不由点构成,而是由无穷小线段构成.线段包含点. 想一想也确实耐人寻味,这个连续的线,都能够用数来表达,难怪万物皆是数了. 但这里面有一个悖论, 数描述的只是一个点,点是没有长度的,而线段是有长度的. 这就是说,无穷多个点也构不成线段.所以应该说,这个点是一个无穷小线段,而不是逻辑上的一个点. 就是说,线段只能由线段来构成,而不能由点来构成.所以严谨的说法应该是这个实数代表了一个无穷小线段.

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